В дальнейшем будет получена формула бинома Ньютона с помощью приемов дифференциального исчисления.
Бином Ньютона — это формула, выражающая выражение (a + b)n в виде многочлена. Эта формула имеет вид:
- число сочетаний из п
элементов по k.
Широко известные формулы сокращенного умножения квадрата суммы и разности, куба суммы и разности, являются частными случаями бинома Ньютона.
Когда степень бинома невысока, коэффициенты многочлена могут быть найдены не расчетом по формуле количества сочетаний, а с помощью так называемого треугольника Паскаля. (Блез Паскаль (1623 — 1662) — французский математик).
Этот треугольник имеет вид:
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
Формула бинома Ньютона может быть обобщена для произвольного числа слагаемых.
Напомним, что при вычислениях 0! принимается равным 1.
Задание 2.
2. 
Решение
Убедившись,
что данное уравнение линейное, приведём его к виду: 
.
Разделив левую и правую части данного уравнения на коэффициент при 
, равный sinx, получим 
, 
сравнивая с уравнением (*) имеем 
I способ решения:
Применим формулу общего решения для таких уравнений:
подставим
в эту формулу P(x) и Q(x) данного уравнения, получим 
.
Вычисляем сначала интегралы, стоящие в степени.
,
полагаем 
тогда общее решение данного уравнения 
,
далее при преобразовании общего решения
используем формулу 
, при 
, 
(основное логарифмическое тождество), а также свойство
логарифмов: 
.
тогда
.
Значит,
общее решение данного уравнения имеет вид: 
(**).
Теперь найдем частное
решение, удовлетворяющее начальному условию 
.
Для этого подставим в общее решение 
,
.
Тогда получим уравнение
, но 
.
Значит, 
,
, 
.
Найденное значение С подставим в общее решение, тогда получим искомое частное решение:
.
Ответ:
.
