Определение. Пусть Е — топологическое пространство, а U — его подмножество. Множество U называется открытым, если оно является окрестностью для любой точки rÎU.
Определение. Пусть Е — топологическое пространство, а F — его подмножество. Множество F называется замкнутым, если множество E \ F — открыто.
Отметим следующие свойства:
1) Объединение любой совокупности открытых множеств открыто.
2) Пересечение конечного числа открытых множеств открыто.
3) Пересечение любой совокупности замкнутых множеств замкнуто.
4) Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.
Определение. Если А — любое множество в топологическом пространстве Е, то объединение всех открытых множеств, содержащихся в А, открыто. Это объединение называется внутренностью множества А. Обозначается IntA. Это объединение будет наибольши открытым множеством, содержащимся в А.
Определение. Множество 
называется замыканием
множества А. Множество FrA = 
CA называется границей множества
А.
Методические указания и решения примерных задач контрольной работы.
Задание 1.
1. Рассмотри уравнение 
Найдём его общее решение, используя обозначение
; 
; 
; (переменные разделили).
Интегрируем уравнение
(C — произвольная постоянная интегрирования). Вычисляем
интегралы, получим
Получим общее решение данного уравнения. Нетрудно проверить, что функция
удовлетворяет данному уравнению
при любом значении С, при различных значения С получаем различные решения. Геометрически
получаем семейство интегральных кривых в виде гипербол (график обратной пропорциональной
зависимости).
Найдём частное решение, удовлетворяющее, например, начальному
условию y=1, x=1. Подставим эти значения в функцию , получим 
; тогда 
- частное решение данного уравнения, геометрически получена
гипербола, проходящая через точку 
.
Найдём второе частное решение, удовлетворяющее
условию 
. Поступая аналогично, получим уравнение
, тогда частное решение 
,
удовлетворяет начальному условию . Геометрически получена гипербола, проходящая через точку
.
Таким
образом, частным решением дифференциального уравнения 
называется функция, которая получается
из общего решения при определённом значении постоянной С.
