Как было сказано выше, минором матрицы порядка s называется определитель матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких - либо выбранных s строк и s столбцов.
Определение. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n. Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными. В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.
Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg А. Очень важным свойством элементарных преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.
Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными. Надо отметить, что равные матрицы и эвивалентные матрицы - понятия совершенно различные.
Теорема.
Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно
независимых строк.
Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно
упростить процесс нахождения ранга матрицы.
Пример. Определить ранг матрицы.
~ 
~
, 
RgA = 2.
Пример: Определить ранг матрицы.
~ 
~ 
~
, 
Rg = 2.
Пример. Определить
ранг матрицы. 
~
, 
Þ Rg = 2.
Если с помощью элементарных преобразований
не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение
ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка.
В вышеприведенном примере — это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не
равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора.
Теорема о базисном миноре. Теорема. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор. Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице. Если А- квадратная матрица и detA = 0, то по крайней мере один из столбцов — линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю.
На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой