Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

(Лопиталь (1661-1704) — французский математик)

К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:

 

Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g¢(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.

 

Доказательство. Применив формулу Коши, получим:

где e - точка, находящаяся между а и х. Учитывая, что f(a) = g(a) = 0:

 

Пусть при х®а отношение стремится к некоторому пределу. Т.к. точка e лежит между точками а и х, то при х®а получим e®а, а следовательно и отношение стремится к тому же пределу. Таким образом, можно записать:

.

 

Теорема доказана.

ДВОЙНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ.

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Пусть на квадрируемом множестве определена функция .

Под квадрируемым множеством подразумевается такое точечное множество D, которому можно по определенным правилам сопоставить некоторое неотрицательное число, являющееся его площадью.

Разобьем D произвольными кривыми на n частей . Пусть - площади этих частей, а - их диаметры.

Напомним, что диаметром множества называется супремум расстояний между любыми двумя точками, принадлежащими данному множеству.

В каждой из () выберем произвольную точку и составим интегральную сумму для функции на множестве D.

Число называется рангом разбиения D.

Если существует конечный предел , который не зависит ни от способа разбиения D на части, ни от выбора точек , то J называется двойным интегралом функции по множеству D и обозначается ; функция в этом случае называется интегрируемой на множестве D.

Заметим, что функция , непрерывная на замкнутом квадрируемом множестве D, интегрируема на D.

Свойства двойных интегралов

Пусть функции и интегрируемы на множестве D.

Линейность интеграла. Для любых постоянных чисел и функция

+ интегрируема на D и верно равенство

=+.

Аддитивность по множеству. Если D некоторой непрерывной кривой L разбита на два множества D1 и D2 (, ), то функция интегрируема на D1 и D2 и

=+.

Монотонность. Если £ для всех , то

£.

Теорема о среднем значении. Пусть определена и непрерывна на связном, замкнутом и ограниченном множестве D.

Напомним, что множество называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в этом множестве.

Тогда существует такая точка , что

,

где P - площадь множества D.