Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную

Если найти производную функции f¢(x), получим вторую производную функции f(x).

т.е. y¢¢ = (y¢)¢ или .

Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n.

.

Общие правила нахождения высших производных. 

Если функции u = f(x) и v = g(x) дифференцируемы, то

1)      (Сu)⁽ⁿ⁾ = Cu⁽ⁿ⁾;

2)      (u ± v)⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾ ± v⁽ⁿ⁾;

3)

.

Это выражение называется формулой Лейбница.

Также по формуле dⁿy = f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ может быть найден дифференциал n- го порядка.

Замечание:

Предел не зависит ни от способа разбиения области на элементарные участки , ни от выбора точек .

Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторных интегралов следующим образом.

Для непрерывной функции двойной интеграл по области равен повторному интегралу:

(1)

или

(2)

Повторные интегралы (1) и (2) отличаются друг от друга порядком интегрирования по переменным и . Применение формулы (1) или (2) зависит от конфигурации области . Формула (1) применяется в тех случаях, когда область ограничена снизу и сверху соответственно кривыми и , а слева и справа прямыми , причем всюду на функции и непрерывны и . Примеры таких областей приведены на рисунке.

Формулу (2) применяют в тех случаях, когда область ограничена слева и справа соответственно кривыми и . Снизу и сверху - прямыми . Причем всюду на функции непрерывны . На рисунке изображены примеры таких областей.

Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов по формулам (1) или (2). При применении формулы (1) сначала вычисляют внутренний интеграл при постоянном , полученная функция от интегрируется в пределах от до .

Если применяют формулу (2), то сначала вычисляют внутренний интеграл при постоянном ; затем полученная функция от интегрируется на отрезке .

Покажем, как вычисляется двойной интеграл в декартовой системе координат.