Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢(x) ³ 0.

2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f¢(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Доказательство.

1)      Если функция f(x) возрастает, то f(x + Dx) > f(x) при Dx>0 и f(x + Dx) < f(x) при Dх<0,

тогда:

2) Пусть f¢(x)>0 для любых точек х₁ и х₂, принадлежащих отрезку [a, b], причем x₁<x₂.

Тогда по теореме Лагранжа: f(x₂) — f(x₁) = f¢(e)(x₂ – x₁), x₁ < e < x₂

По условию f¢(e)>0, следовательно, f(x₂) — f(x₁) >0, т.е. функция f(x) возрастает.

Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то f¢(x)£0 на этом отрезке. Если f¢(x)<0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает на отрезке [a, b].

Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).

Доказанную выше теорему можно проиллюстрировать геометрически:

y y

Свойства степенных рядов

Рассмотрим степенной ряд

имеющий радиус сходимости ( может равняться ). Тогда каждому значению из интервала сходимости соответствует некоторая сумма ряда. Следовательно, сумма степенного ряда есть функция от на интервале сходимости. Обозначим ее через . Тогда можно записать равенство

понимая его в том смысле, что сумма ряда в каждой точке из интервала сходимости равна значению функции в этой точке. В этом же смысле будем говорить, что ряд сходится к функции на интервале сходимости. Вне интервала сходимости равенство не имеет смысла.

Пример 44 Найти сумму степенного ряда

Решение:

Это ряд составленный из членов геометрической прогрессии, у которой . Следовательно, его сумма есть функция . Ряд сходится, если . Поэтому равенство

справедливо лишь для значений , хотя функция определена для всех значений кроме

Можно доказать, что сумма степенного ряда непрерывна и дифференцируема на любом отроке внутри интервала сходимости.

Равенство справедливое в интервале сходимости степенного ряда называют разложением в степенной ряд.

Для степенных рядов справедливы следующие утверждения:

1) Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать неограниченное число раз причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд а суммы их соответственно равны .

2) Степенной ряд можно неограниченное число раз почленно интегрировать в пределах от 0 до , если , причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны