Пусть в точке х = х1 f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х1.
Теорема. Если f¢(x1) = 0, то функция f(x) в точке х = х1 имеет максимум, если f¢¢(x1)<0 и минимум, если f¢¢(x1)>0.
Доказательство.
Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х1.
Т.к. f¢¢(x) = (f¢(x))¢ < 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х1, но f¢(x1)=0, т.е. f¢(x) > 0 при х<x1 и f¢(x) < 0 при x>x1. Это и означает, что при переходе через точку х = х1 производная f¢(x) меняет знак с “+” на “-“, т.е. в этой точке функция f(x) имеет максимум.
Для случая минимума функции теорема доказывается аналогично.
Если f¢¢(x) = 0, то характер критической точки неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование.
Несобственные интегралы
При введении понятия определённого интеграла мы предполагали, что подынтегральная функция является ограниченной, а пределы интегрирования — конечными. Такой интеграл называется собственным (слово «собственный» обычно опускается). Если хотя бы одно из этих двух условий не выполнено, то интеграл называется несобственным.
Интегралы с бесконечными пределами интегрирования
Пусть функция f(x) непрерывна при 
<
, т.е. при 
Тогда по определению полагают
Если этот предел существует, то говорят, что интеграл
сходится, а если предел не существует, то интеграл называют расходящимся.
Геометрически для неотрицательной при 
функции f(x) несобственный интеграл по аналогии с собственным
интегралом представляет собой площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции
y=f(x), слева отрезком прямой x=a и снизу осью Ox.
 |
Пример 13 Исследовать на сходимость интегралы:
а) 
т.е. данный несобственный интеграл сходится.
б)
т.е. данный интеграл расходится.
в) Установим,
при каких значениях 
интеграл 
сходится.
Случай 
был рассмотрен в примере б). Если 
то
.
Значит, данный интеграл сходится при >1 и расходится при 
Аналогично определяются следующие несобственные интегралы
