При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.
Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.
Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.
Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей
асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном
ниже графике функции 
. Ее наклонная асимптота у = х.
Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых.
Вертикальные асимптоты.
Из определения асимптоты следует, что если
или 
или 
, то прямая х = а — асимптота
кривой y = f(x).
Например, для функции 
прямая х = 5 является вертикальной
асимптотой.
Наклонные асимптоты.
Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.
Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте — М, Р — точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью Ох обозначим j. Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N.
Тогда MQ
= y — ордината точки кривой, NQ = 
- ордината точки N на асимптоте.
По условию: 
, ÐNMP
= j, 
.
Угол j - постоянный и не равный 900, тогда
Тогда 
.
Итак, прямая y = kx + b — асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.
В полученном выражении выносим за скобки х:
Т.к.
х®¥, то 
, т.к. b = const,
то 
.
Тогда 
, следовательно,
.
Т.к. 
, то 
, следовательно,
Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.
Достаточные признаки сходимости рядов
Рассмотрим ряд 
, члены которого положительны, т.е. 
(n=1,2,3,…).
Признак Даламбера
Пусть для числового ряда с положительными членами:
имеет место 
тогда
при D<1 ряд сходится,
при D>1 ряд расходится,
при D=1 ряд может сходиться или расходиться (в этом случае требуется дополнительные исследования).
Признак Коши
Пусть для числового ряда с положительными членами:
имеет место 
тогда
при D<1 ряд сходится,
при D>1 ряд расходится,
при D=1 ряд может сходиться или расходиться (в этом случае требуется дополнительные исследования).
Пример 34 Исследовать на сходимость ряд
Решение:
Применим признак Даламбера, вычислим
число D=0 <1, следовательно, ряд сходится.
Пример
35 Исследовать на сходимость ряд 
.
Решение:
Применим признак Коши:
– ряд расходится.
Интегральный признак Маклорена-Коши
Пусть
числовой ряд с положительными числами.
Пусть члены ряда удовлетворяют следующим условиям:
1) составляют монотонную не возрастающую последовательность
;
2) можно построить монотонную не возрастающую
функцию 
такую, что 
, тогда заданный ряд 
– сходится и расходится одновременно с несобственным
интегралом 
.
