Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

1)      Область существования функции.

Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.

2)      Точки разрыва. (Если они имеются).

3)      Интервалы возрастания и убывания.

4)      Точки максимума и минимума.

5)      Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.

6)      Области выпуклости и вогнутости.

7)      Точки перегиба.(Если они имеются).

8)      Асимптоты.(Если они имеются).

9)      Построение графика.

Применение этой схемы рассмотрим на примере.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Областью значений данной функции является интервал (-¥; ¥).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции

Критические точки: x = 0; x = -; x = ; x = -1; x = 1.

Найдем вторую производную функции

.

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

-¥ < x < -, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

-1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y¢¢ > 0, кривая вогнутая

< x < ¥, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

-¥ < x < -, y¢ > 0, функция возрастает

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

-1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢¢ > 0, функция возрастает

Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3/2 и -3/2.

Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.

Итого, уравнение наклонной асимптоты — y = x.

Построим график функции:

Пример 54 Найти функцию дохода , если известно, что величина потребления задаётся функцией , коэффициент капиталоёмкости прироста дохода , .

Решение:

Известно, что функция дохода равна

,

где – сумма инвестиций, – величина потребления.

А также имеет место дифференциальное уравнение

,

где – коэффициент капиталоёмкости прироста дохода. По условию задачи составим дифференциальное уравнение:

, или

Итак, функция дохода удовлетворяет линейному неоднородному уравнению первого порядка. Будем искать его решение в виде .

Тогда , подставим в уравнение

1) 2)

Общее решение или

Используя начальные условия , найдём : или .

Итак, функция дохода имеет вид .

Начиная с середины 1950-х годов в макроэкономической теории

стали пользоваться неоклассическими моделями экономического роста, в частности моделями Солоу, в которых коэффициент капиталовооружённости (стоимость основного капитала, приходящаяся на одного занятого в производстве) есть ведичина переменная, меняется в зависимости от состояния экономической коньюнктуры.

Основное уравнение модели Солоу есть частное дифференциальное уравнение первого порядка

,

где q – средняя производительность труда ( или стоимость дохода , произведённого одним работающим )

n — годовой темп прироста населения ( условно 0<n<0,03)

Sy — функция сбережения, – инвестиции.

Данное уравнение показывает, как должна изменяться во времени капиталовооружённость труда , чтобы существующий равновесный рост обеспечивал полное использование производственных мощностей, и в том числе — полную занятость.

Именно при условии будем иметь место равновесный рост с постоянной капиталовооружённостью и постоянной производительностью труда.

Эту закономерность легко пояснить на графике.

Если левая часть выражения больше правой , то сбережения превышают инвестиции, то есть приращение капитала, необходимого для поддержания соответствующего уровня капиталовооружённости . То есть в этом случае выполняется неравенство , что требует повышения капиталоёмкости (от до ).

Напротив, если , то для достижения равновесия экономики и полной занятости следует понизить капиталовооруженность труда , что автоматически достигается рыночными изменениями ценовых параметров.

На рисунке линия – прямая, так как условно предполагается, что прирост населения постоянен, линия – выпуклая.