Если центр окружности находится в начале координат, то координаты любой ее
точки могут быть найдены по формулам:
0 £ t £ 3600
Если исключить параметр t, то получим каноническое уравнение окружности:
x2 + y2 = r2(cos2t + sin2t) = r2
Пример
21. Найдем объем тела, ограниченного плоскостями 
, 
и цилиндром 
.
Тело, объем которого требуется z
вычислить, изображено на рис. 12.
Объем тела вычисляется по формуле
V =
. Этот интеграл
вычислен в примере 19, он равен 3p,
поэтому искомый объем равен
3p (куб.ед.). y
Пример 22. Найдем площадь x
фигуры D, ограниченной кривой Рис. 12
(
).
Заметим, что кривая симметрична относительно
оси x (уравнение кривой не меняется при замене y на -y), расположена в правой
полуплоскости (левая часть уравнения неотрицательна, поэтому и правая часть должна
быть неотрицательной). Кривая пересекает ось x в точках 
и 
.
Кроме того, она ограничена: из очевидного неравенства
следует, что 
, а поскольку 
, то 
. Эскиз кривой дан на рис. 13.
Для вычисления площади фигуры D, ограниченной данной кривой,
воспользуемся формулой S =
.
Наличие в формуле кривой двучлена
подсказывает, что целесообразно
перейти к полярным координатам
, 
.
Полярное уравнение кривой: 
.
Из условия 
следует, что q
меняется
от -p/2 до p/2, при каждом фиксированном Рис. 13
q
переменная r изменяется от 0 до 
. Используя симметричность D, мы можем вычислить площадь
фигуры, расположенной в первой четверти и удвоить ее. Таким образом,
S=
=
=
=
(кв. ед.).
