Определение. Циклоидой называется кривая, которую описывает некоторая точка, лежащая на окружности, когда окружность без скольжения катится по прямой.

 

Пусть окружность радиуса а перемещается без скольжения вдоль оси х. Тогда из геометрических соображений можно записать: OB = = at; PB = MK = asint;

ÐMCB = t; Тогда y = MP = KB = CB — CK = a — acost = a(1 — cost).

x = at — asint = a(t — sint).

 

Итого: при 0 £ t £ 2p - это параметрическое уравнение циклоиды.

Если исключить параметр, то получаем:

Как видно, параметрическое уравнение циклоиды намного удобнее в использовании, чем уравнение, непосредственно выражающее одну координату через другую.

 

Астроида.

 

Данная кривая представляет собой траекторию точки окружности радиуса R/4, вращающейся без скольжения по внутренней стороне окружности радиуса R.

 

 

 

Параметрические уравнения, задающие изображенную выше кривую,

, 0 £ t £ 2p,

 

Преобразуя, получим: x^2/3 + y^2/3 = a^2/3(cos²t + sin²t) = a^2/3

 

Пример 51 Определить дисконтированный доход за три года при процентной ставке 8%, если первоначальные (базовые) капиталовложения составили 10 млн. руб., и намечается ежегодно увеличивать капиталовложения на 1 млн. руб.

Решение:

Очевидно, что капиталовложения задаются функцией . Тогда по формуле:

дисконтированная сумма капиталовложений равна:

.

Вычислим интеграл по частям

Итак, получили млн. руб. Это означает, что для получения одинаковой наращенной суммы через три года ежегодные капиталовложения от 10 до 13 млн. руб. равносильны одновременным первоначальным вложениям 31 млн. руб. при той же, начисляемой непрерывно, процентной ставке.