Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х₀ называется правое (левое) значение предела отношения при условии, что это отношение существует.

Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х₀, то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во- первых функция может иметь разрыв в точке х₀, а во- вторых, даже если функция непрерывна в точке х₀, она может быть в ней не дифференцируема.

Например: f(x) = ïxï- имеет в точке х = 0 и левую и правую производную, непрерывна в этой точке, однако, не имеет в ней производной.

Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х₀, то она непрерывна в этой точке.

Понятно, что это условие не является достаточным.

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Пусть L - простая спрямляемая незамкнутая кривая, заданная параметрически: , , .

Напомним, что L называется простой незамкнутой кривой, если функции , непрерывны на и различным значениям параметра t из отрезка соответствуют различные точки на кривой L. Простая кривая называется спрямляемой, если она имеет конечную длину.

Пусть на кривой L заданы две функции и . Разобьем отрезок на n частей точками . При этом кривая L разбивается на n частей точками ; - координаты точки .

Введем обозначения: , , - длина дуги , . На каждой дуге выберем некоторую точку с координатами и составим интегральную сумму

.

Если существует конечный предел , который не зависит ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора точек , то J называется криволинейным интегралом по координатам (криволинейным интегралом второго рода) и обозначается

.

Замечания. 1. Из определения криволинейного интеграла следует, что при изменении направления обхода кривой L изменяется и знак интеграла, т.е. .

2. Если кривая L замкнутая (т.е. точка A совпадает с точкой B), то для L можно указать два направления обхода от A к B. Если область, лежащая внутри контура, остается слева по отношению к движущейся по контуру точке, то такое направление обхода кривой L называется положительным, а противоположное ему - отрицательным.

Интеграл по замкнутому контуру в положительном направлении обозначают так: . Заметим, что в случае вычисления интеграла по замкнутому контуру в качестве начальной (и конечной) точки можно взять любую точку контура.

3. Криволинейные интегралы обладают свойствами линейности и аддитивности.