Определение: Угол a поворота касательной к кривой при переходе от точки А к точке В называется углом смежности.

Соответственно, более изогнута та кривая, у которой при одинаковой длине больше угол смежности.

Определение: Средней кривизной К_ср дуги называется отношение соответствующего угла смежности a к длине дуги .

Отметим, что для одной кривой средняя кривизна ее различных частей может быть различной, т.е. данная величина характеризует не кривую целиком, а некоторый ее участок.

Определение: Кривизной дуги в точке К_А называется предел средней кривизны при стремлении длины дуги ® 0.

Легко видеть, что если обозначить = S, то при условии, что угол a - функция, которая зависит от S и дифференцируема, то

Определение: Радиусом кривизны кривой называется величина .

Пусть кривая задана уравнением y = f(x).

y

B

Dj

K_cp = ; ;

Если j = j(x) и S = S(x), то .

В то же время .

Для дифференциала дуги: , тогда

Т.к. . В других обозначениях: .

  [an error occurred while processing this directive]

Рассмотрим кривую, заданную уравнением: y = f(x).

Если построить в точке А кривой нормаль, направленную в сторону выпуклости, то можно отложить отрезок АС = R, где R — радиус кривизны кривой в точке А. Тогда точка С(a, b) называется центром кривизны кривой в точке А.

Круг радиуса R с центром в точке С называется кругом кривизны.

Очевидно, что в точке А кривизна кривой и кривизна окружности равны.

Можно показать, что координаты центра кривизны могут быть найдены по формулам:

Определение: Совокупность всех центров кривизны кривой линии образуют новую линию, которая называется эволютой по отношению к данной кривой. По отношению к эволюте исходная кривая называется эвольвентой.

Приведенные выше уравнения, определяющие координаты центров кривизны кривой определяют уравнение эволюты.

Применение теоремы о среднем.

Пусть известна функция t=t(x), описывающая изменение затрат времени t на изготовление изделия в зависимости от степени освоения производства, где x — порядковый номер изделия в партии. Тогда среднее время, затраченное на изготовление одного изделия в период освоения от изделий, вычисляется по теореме о среднем:

.

Что касается функции изменения затрат времени на изготовление изделий t=t(x), то часто она имеет вид

,

где – затраты времени на первое изделие, - показатель производственного процесса. (см. Пример 52).

Пример 50 Найти объём продукции, произведённой за 4 года, если функция Кобба-Дугласа имеет вид .

Решение:

Используем метод интегрирования по частям. Пусть , . Тогда , .

Следовательно,

(усл. ед.)