Теорема 1: Нормаль к данной кривой является касательной к ее эволюте.

Теорема 2: Модуль разности радиусов кривизны в любых точках кривой равен модулю длины соответствующей эволюты.

С₃

С₂

С₁

R₁ R₂ R₃

Надо отметить, что какой — либо эволюте соответствует бесконечное число эвольвент.

Указанные выше свойства можно проиллюстрировать следующим образом: если на эволюту натянута нить, то эвольвента получается как траекторная линия конца нити при ее сматывании или разматывании при условии, что нить находится в натянутом состоянии.

Пример: Найти уравнение эволюты кривой, заданной уравнениями:

Уравнения эволюты:

Окончательно: - это уравнения окружности с центром в начале координат радиуса а. Исходная кривая получается своего рода разверткой окружности.

Ниже приведены графики исходной кривой и ее эволюты.

Пример 8. Вычислить интегралы:

а)

б)

Решение:

а)

б)

При вычислении

используют формулы

Интегрирование иррациональных выражений

При вычислении интегралов, содержащих иррациональные выражения применяют замену переменной.

Если ,

то , где

Если

то , где