z

A(x, y, z)

B

Для произвольной точки А, находящейся на пространственной кривой, координаты могут быть определены как функции некоторой длины дуги S.

x = j(S); y = y(S); z = f(S);

Приведенное выше уравнение называют векторным уравнением линии в пространстве.

Определение: Линия, которую опишет в пространстве переменный радиус — вектор при изменении параметра S, называется годографом этого вектора.

, тогда - вектор, направленный по касательной к кривой в точке А(x, y, z).

Но т.к. , то - единичный вектор, направленный по касательной.

Если принять , то .

Причем .

Рассмотрим вторую производную

Определение: Прямая, имеющая направление вектора называется главной нормалью к кривой. Ее единичный вектор обозначается .

, где К — кривизна кривой.

Кривизна пространственной кривой может быть найдена по формуле:

Возможна и другая запись формулы для кривизны пространственной кривой (она получается из приведенной выше формулы):

Определение: Вектор называется вектором кривизны. Величина называется радиусом кривизны.

Приложения в экономике

2.4.1 Приложения интегрального исчисления в экономике

Объем выпускаемой продукции, произведенной за время T.

Пусть функция y=f(t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени t. Найдем объем продукции u, произведенной за промежуток времени [0,T].

Отметим, что если производительность не изменяется с течением времени (f(t) — постоянная функция), то объем продукции , произведенной за некоторый промежуток времени , задается формулой .

Построим интегральную сумму. Разобьем отрезок [0,T] на промежутки времени точками: . Для величины объема продукции , произведенной за промежуток времени , имеем:

, где

.

Тогда .

Перейдя к пределу при , найдем объем произведенной продукции

.

По определению определенного интеграла

,

таким образом

.

Итак, если f(t) — производительность труда в момент t, то есть объем выпускаемой продукции за промежуток [0,T].

Объем выпускаемой продукции за T лет.

Если в функции Кобба-Дугласа считать, что затраты труда есть линейная зависимость от времени, а затраты капитала неизменны, то она примет вид . Тогда объем выпускаемой продукции за T лет составит:

(см. Пример 50).

Вычисление современной (дисконтированной) суммы (финансовая математика).

Определение начальной суммы по ее конечной величине, полученной через время t при годовом проценте p, называется дисконтированием. Задачи такого рода встречаются при определении экономической эффективности капитальных вложений.

Пусть - конечная сумма полученная за t лет, и К — дисконтируемая сумма, которую в финансовом анализе называют также современной суммой. Если проценты простые, то - удельная процентная ставка. Тогда . В случае сложных процентов и поэтому .

Пусть поступающий ежегодно доход изменяется во времени и описывается функцией f(t) и при удельной норме процента, равной i, процент начисляется непрерывно. Можно показать, что в этом случае дисконтированный доход K за время Т вычисляется по формуле:

(см. Пример 51).