Формулами Френе называются соотношения:

Последняя формула получена из двух первых.

В этих формулах:

- единичный вектор главной нормали к кривой,

- единичный вектор бинормали,

R — радиус кривизны кривой ,

Т — радиус кручения кривой.

 

Определение: Плоскость, проходящая через касательную и главную нормаль к кривой в точке А называется соприкасающейся плоскостью.

Определение: Нормаль к кривой, перпендикулярная к соприкасающейся плоскости, называется бинормалью. Ее единичный вектор- .

Величина называется кручением кривой.

Ниже рассмотрим несколько примеров исследования методами дифференциального исчисления различных типов функций.

Вычисление двойных интегралов

Множество вида , где - функции, непрерывные на [a,b] , на [a,b], называется элементарным относительно оси y.

Аналогично, множество , где - функции, непрерывные на [c,d], на [c,d], называется элементарным относительно оси x.

Теорема (о вычислении двойного интеграла повторным интегрированием).

1). Пусть функция интегрируема на множестве D, элементарном относительно оси y, и при каждом постоянном значении x из [a,b] существует интеграл , тогда существует также интеграл , который называется повторным

интегралом, и выполняется равенство .

2). Аналогично, если функция интегрируема на множестве D, элементарном относительно оси x, и при каждом постоянном значении y из [c,d] существует интеграл , то существует интеграл , и выполняется равенство .

Пример 16. Вычислим , где D - область, ограниченная кривыми и (рис. 6).

Решая систему ,

найдем абсциссы точек пересечения

полуокружности и параболы:

. Заметим, что множество D

элементарно относительно оси y:

оно задается с помощью неравенств Рис. 6.

, .

Поэтому двойной интеграл может быть вычислен повторным интегрированием:

==

= .