Пример: Исследовать функцию и построить ее график.

 

1. Областью определения функции являются все значения х, кроме х = 0.

2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.

3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Ох: y = 0; x =

с осью Оу: x = 0; y — не существует.

4. Точка х = 0 является точкой разрыва , следовательно, прямая х = 0 является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты ищем в виде: y = kx + b.

Наклонная асимптота у = х.

5. Находим точки экстремума функции.

; y¢ = 0 при х = 2, у¢ = ¥ при х = 0.

y¢ > 0 при х Î (-¥, 0) — функция возрастает,

y¢ < 0 при х Î (0, 2) — функция убывает,

у¢ > 0 при х Î (2, ¥) — функция возрастает.

Таким образом, точка (2, 3) является точкой минимума.

Для определения характера выпуклости/вогнутости функции находим вторую производную.

> 0 при любом х ¹ 0, следовательно, функция вогнутая на всей области определения.

 

6. Построим график функции.

 

 

 

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. . Метод Лагранжа

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение

где непрерывная функция. Однородное уравнение соответствующее неоднородному уравнению будет

Справедлива следующая теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения:

Если – частное решение уравнения

а – общее решение однородного уравнения то общее решение неоднородного уравнения равно сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения

Замечание.

Если правая часть уравнения есть сумма нескольких функций , то частное решение уравнения равно сумме частных решений, отвечающих каждой функции в отдельности .

Как мы убедились раньше, задача отыскания общего решения неоднородного уравнения сводится к отысканию общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения .

Приведем метод, позволяющий определить общее решение неоднородного уравнении по общему решению однородного уравнения.

Метод Лагранжа (метод вариации постоянных) решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка

Алгоритм метода:

Решить однородное уравнение

и записать его общее решение

Записать общее решение неоднородного уравнения, полагая произвольные константы функциями от x:

,

тогда

3. Записать систему уравнений

и решить ее.

4. Полученное решение подставить в .

Примеры решения задач по математике за второй курс универа

На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой