Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x).

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F₁(x) = F₂(x) + C.

Неопределенный интеграл.

Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Свойства:

1.

2.

3.

4. где u, v, w — некоторые функции от х.

6.     

Пример 45 Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение:

Найдем производные , поэтому при имеем Подставляя эти значения в формулу получим искомое разложение

Этот ряд сходится на всей числовой прямой .

Пример 46 Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение:

Так как производная четвертого порядка совпадает с функцией, то производные следующих порядков повторяются в той же последовательности. Найдем значения функции и ее производных при :

Поэтому ряд Маклорена для функции имеет вид

Пример 47 Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение:

Аналогично, получим

Применение рядов в приближенных вычислениях

Степенные ряды имеют самые разнообразные приложения. С их помощью вычисляют с заданной степенью точности значения:

функций, определенных интегралов.

Находятся приближенные решения дифференциальных уравнений.