Пример:

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций — рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.

Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.

Пример 52 Найти среднее время, затраченное на освоение одного изделия в период освоения от до изделий, используя формулу

,

полагая в формуле , где – затраты времени на первое изделие, – показатель производственного процесса, (мин.), .

Решение:

(мин.).

2.4.2 Приложения дифференциальных уравнений в экономике.

Рассмотрим некоторые задачи макроэкономической динамики.

Пусть y(t) — объем продукции некоторой отрасли, реализованной к

моменту времени t. Будем полагать, что вся производимая отраслью продукция реализуется по некоторой фиксированной цене p, т.е. выполнено условие ненасыщаемости рынка. Тогда доход к моменту времени t составит .

Обозначим через I(t) величину инвестиций, направляемых на расширение производства. В модели естественного роста полагают, что скорость выпуска продукции (акселерация) пропорциональна величине инвестиций, имеет место дифференциальное уравнение

Полагая, что величина инвестиций I(t) составляет фиксированную часть дохода, получим

,

где коэффициент пропорциональности m (так называемая норма инвестиций) — постоянная величина, 0<m<1.

Подставляя последнее выражение для I(t) в дифференциальное уравнение, получим , обозначим k=mp, тогда .

Это дифференциальное уравнение — с разделяющимися переменными. Решим его:

При начальных условиях решение можно записать в виде .

Замечание. Уравнение описывает также рост народонаселения, динамику роста цен при постоянной инфляции, процесс радиоактивного распада и др.

На практике условие насыщаемости рынка может быть принято

только для достаточно узкого времени интервала. В общем случае кривая спроса, т.е. зависимость цены реализованной продукции от ее объема является убывающей функцией p = p(y). Поэтому модель роста в условиях конкурентного рынка примет вид

оставаясь по-прежнему уравнением с разделяющимися переменными.

Так как все сомножители в правой части уравнения положительны, то , и это уравнение описывает возрастающую функцию y(t). При исследовании функции y(t) на выпуклость естественно используется понятие эластичности функции. Дифференцируя уравнение получим

Так как эластичность спроса определяется формулой , получим

Условие равносильно равенству .

Таким образом, если спрос эластичен, т.е. или , то и функция выпукла вниз; в случае если спрос эластичен, то функция выпукла вверх.

Примеры решения задач по математике за второй курс универа

На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой