Рассмотрим три основных метода интегрирования.

Непосредственное интегрирование.

 

Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Рассмотрим применение этого метода на примере:

Требуется найти значение интеграла . На основе известной формулы дифференцирования можно сделать вывод, что искомый интеграл равен , где С — некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны . Таким образом, окончательно можно сделать вывод:

Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.

Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.

НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

Пусть функция непрерывна на ограниченном замкнутом множестве D.

Напомним, что множество называется ограниченным, если существует такая окрестность U (0,0), что U (0,0); множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

По теореме Вейерштрасса существуют такие точки и , что является наибольшим значением функции на множестве D , а - наименьшим ее значением на множестве D.

Функция, дифференцируемая в ограниченной области и непрерывная на ее границе, достигает своего наибольшего и наименьшего значений либо в стационарных точках, либо в граничных точках D.

Пример 15. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на множестве D, ограниченном прямыми , , .

y (2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2) - стационарные

точки функции u (см. пример 14), но (-2,-1),

(-1,-2) не принадлежат D.

u (2, 1) = -23, u (1, 2) = -25.

D Изучим поведение функции u на

x границе множества D.

, . На этом участке границы

Рис. 5 . Это функция одной переменной,

которая принимает наименьшее значение в точке , а наибольшее значение в точке : u (4,0) = -45, u (0,0)= 3;

2) , . На этом отрезке . Для того чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке, вычислим ее значения в стационарных точках и на концах отрезка: ; , но , поэтому вычисляем u (0,0) = 3, u (0,)= = , u (0,4) = 7. Наибольшим является значение в точке (0,4), а наименьшим - в точке (0, );

3), . Здесь

.

Вычисляем значения функции в стационарных точках и на концах отрезка: ; ; u (0,4)= 7, u (3/2, 5/2) = -20, u (5/2,3/2)= -18, u (4,0)= -45. На этом участке границы наибольшим является значение функции в точке (0,4), а наименьшим - в точке (4,0).

Из полученных в пунктах 1)-3) наименьших и наибольших значений функции на различных участках границы и из значений функции в стационарных точках выбираем самое большое и самое маленькое. Наибольшее значение: u (0,4)= 7, наименьшее значение: u (4,0)= -45.