Теорема: Если требуется найти интеграл 
, но сложно отыскать первообразную, то с помощью
замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:
Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:
По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла:
f(x)dx = f[j(t)]j¢(t)dt
что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.
Пример. Найти неопределенный интеграл 
.
Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.
Пример. 
Замена
Получаем:
Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для различных типов функций.
Пример
24 Решить уравнение 
.
Решение:
В уравнение не входит 
. Полагая 
, тогда
.
Подставляя в уравнение, получим:
или 
,
откуда
; 
;
интегрируя, получим
; 
;
так как 
, то
; 
.
Итак, общее решение:
.
Примеры решения задач по математике за второй курс универа
| На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой |