Способ основан на известной формуле производной произведения:

(uv)¢ = u¢v + v¢u

где u и v — некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu

 

Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:

или ;

Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

Пример.

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

 

Пример.

 

 

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.

 

Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.

 

Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным.

 

Примеры 38 Исследовать сходимость ряда

Решение:

Ряд расходится по предельному признаку сравнения, так как

,

где известно, что гармонический ряд

.

2.3.3 Знакопеременные ряды. Признак Лейбница

Знакопеременным рядом называется ряд, членами которого являются действительные числа произвольного знака.

Например,

1)

2)

3)

Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если соседние его члены имеют различные знаки.

Например, .

Знакопеременный ряд называется:

Абсолютно сходящимся, если сходится ряд составленный из модулей его членов .

Условно сходящимся, если он сходится, но не сходится абсолютно.

Имеют место следующие свойства абсолютно сходящихся рядов:

1) Всякий абсолютно сходящийся ряд сходится.

2) Если в абсолютно сходящемся ряде произвольным образом переставить члены, то полученный ряд также будет абсолютно сходится, а сумма его будет равна сумме исходного ряда.