Пример. 
Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую часть:
6x5 — 8x4 — 25x3 + 20x2 — 76x — 7 3x3 — 4x2 — 17x + 6
6x5 – 8x4 – 34x3 + 12x2 2x2 + 3
9x3 + 8x2 — 76x - 7
9x3 — 12x2 — 51x +18
20x2 — 25x — 25
Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3 знаменатель дроби превращается в ноль. Тогда:
3x3 — 4x2 — 17x + 6 x - 3
3x3 – 9x2 3x2 + 5x - 2
5x2 – 17x
5x2 – 15x
- 2x + 6
-2x + 6
0
Таким образом 3x3 — 4x2 — 17x + 6 = (x — 3)(3x2 + 5x — 2) = (x — 3)(x + 2 )(3x — 1). Тогда:
Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемый метод произвольных значений. Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае — 3, -2, 1/3. Получаем:
Окончательно получаем:
= 
Пример.
Найдем неопределенные коэффициенты:
Тогда значение заданного интеграла:
