Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.

Интеграл вида .

Здесь R — обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx.

Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

,

Тогда

Таким образом:

Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой.

Пример.

Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил.

Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.

Пример.

Интеграл вида если функция R является нечетной относительно cosx.

Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx.

Функция может содержать cosx только в четных степенях, а следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx.

РЯДЫ

Числовые ряды. Основные понятия. Необходимый признак сходимости ряда

Основные понятия

Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел:

выражение

называется бесконечным числовым рядом (или просто рядом).

Числа – называются членами ряда, а член ряда – его общим членом.

Примеры рядов:

1)

2)

3)

Ряд можно задать с помощью общего члена, например, определяет следующий ряд:

Частичной суммой числового ряда называется сумма его первых n членов,

Суммой числового ряда S называется предел последовательности его частичных сумм, если этот предел существует

,

причем ряд называется сходящимся, в противном случае, если же не существует, или то ряд называется расходящимся.

Пример 31 Исследовать на сходимость ряды

а)

б)

Решение:

а) Рассмотрим ряд . Найдем его частичные суммы Последовательность его частичных сумм 1,0,1,0.1,0… не имеет предела, следовательно ряд расходится.

б) Рассмотрим ряд

найдем его частичные суммы:

Так как то рассматриваемый ряд сходится: его сумма равна 1.