Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

 

Тогда

 

Доказательство.

 

( с учетом того, что если Dx®0, то Du®0, т.к. u = g(x) — непрерывная функция)

 

Тогда

 

Пример 14

, т.е. расходится.

2.1.7 Понятие двойного интеграла

Рассмотрим функцию двух переменных z=f(x,y) или z=f(M), определённую и непрерывную в замкнутой ограниченной области D плоскости Oxy; .

 

Разобьем область D произвольным образом на элементарные участки , площади которых также обозначим , а диаметры обозначим d. Выберем произвольно точку .

Интегральной суммой для функции по области называется:

.

Если существует предел последовательности интегральных сумм при , то он называется двойным интегралом от функции f(M) по области D, обозначают: