где n- натуральное число.Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.
Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций.
Интеграл вида где n- натуральное число.
С
помощью подстановки 
функция рационализируется.
Тогда
Пример.
Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.
Проиллюстрируем это на примере.
Пример.
Замена переменных в двойном интеграле.
Пусть функция 
непрерывна на замкнутом квадрируемом множестве D, функции
, 
непрерывны вместе со своими частными производными первого
порядка в замкнутом квадрируемом множестве Q и задают взаимно однозначное отображение
множества Q на множество D. Тогда имеет место следующая формула замены переменных
в двойном интеграле
,
где 
. Этот определитель называется якобианом отображения , .
В частности, при переходе к полярной системе
координат на плоскости 
, 
якобиан вычисляется следующим образом: 
, поэтому 
.
Пример 19. Вычислим интеграл W
=
, где D - круг 
.
Поскольку границей области интегрирования является окружность
, то при вычислении данного интеграла удобно перейти к
полярным координатам , . При этом отображении прообразом круга является прямоугольник 
(уравнение окружности в полярной системе координат имеет
вид 
, 
). Используя формулу замены переменных, получим: W 
=
=
=
=
=
.
| На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой |