Определение: Биноминальным дифференциалом называется выражение
xm(a + bxn)pdx
где m, n, и p — рациональные числа.
Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821-1894), интеграл от биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях:
1) Если р — целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки
, где l - общий знаменатель m и n.
2) Если
- целое число, то интеграл рационализируется
подстановкой
, где s — знаменатель числа р.
3)
Если 
- целое число, то используется
подстановка 
, где s
– знаменатель числа р.
Однако, наибольшее практическое значение имеют интегралы от функций, рациональных относительно аргумента и квадратного корня из квадратного трехчлена.
На рассмотрении этих интегралов остановимся более подробно.
Интегралы вида 
.
Существует несколько способов интегрирования такого рода функций. В зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала, предпочтительно применять тот или иной способ.
Как известно, квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата может быть приведен к виду:
Таким образом, интеграл приводится к одному из трех типов:
1) 
2) 
3) 
Пример
39 Исследовать сходимость ряда 
.
Решение:
Ряд 
представляет геометрическую прогрессию со знаменателем
, сходится при 
и расходится при 
.
Из теоремы Абеля и ее следствия получаем, что все точки сходимости расположены от начала координат не дальше, чем любая из точек расходимости. Совершенно ясно, что точки сходимости будут целиком заполнять некоторый интервал с центром в начале координат.
Таким образом, можно сказать, что
для каждого степенного ряда, имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости,
существует такое положительное число 
, что для всех , по модулю меньших 
, ряд абсолютно сходится, а для всех , по модулю больших 
, ряд расходится.
Что касается значений 
здесь могут быть различные возможности: ряд может сходится
в обеих точках, или только в одной из них, или ни в одной. При этом ряд может
сходиться как абсолютно, так и условно.
Радиусом сходимости степенного
ряда 
называется такое число , что для всех , 
, степенной ряд сходится, а для всех 
, расходится. Интервал 
называется интервалом сходимости.
Условимся для
рядов, расходящихся при всех , кроме 
. считать 
, а для рядов, сходящихся при всех , считать 
.
Как найти радиус сходимости?
Если все
коэффициенты степенного ряда, начиная с некоторого, отличны от нуля, то его радиус
сходимости равен пределу при 
отношения абсолютных величин коэффициентов общего и
следующего за ним членов ряда.
Составим ряд из абсолютных величин членов
ряда
Найдем отношение 
для этого ряда:
а затем предел его при :
Здесь множитель 
вынесен за знак предела, как не зависящий от 
и введено обозначение
,
если этот предел существует и не равен нулю.
Согласно признаку Даламбера, ряд сходится, если 
,. откуда . Отсюда следует, что ряд сходится, и притом абсолютно,
при значениях .
Согласно тому же признаку Даламбера, ряд расходится,
если 
или . Однако в этом случае из признака Даламбера следует,
что члены ряда не стремятся к нулю. Тогда при не стремятся к нулю и члены ряда, а потому и он расходится
при значениях . Следовательно, согласно определению, число – радиус сходимости степенного ряда. из соотношения
получим
