1 способ. Тригонометрическая подстановка.
Теорема: Интеграл вида 
подстановкой 
или
сводится к интегралу от рациональной функции относительно
sint или cost.
Пример:
Теорема: Интеграл вида 
подстановкой 
или
сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.
Пример:
Теорема: Интеграл вида 
подстановкой 
или 
сводится к интегралу от рациональной функции относительно
sint или cost.
Пример:
Определённый интеграл, его свойства
Пусть на отрезке 
задана функция y=f(x). Разобьем отрезок на n элементарных отрезков точками 
. На каждом отрезке 
разбиения выберем некоторую точку 
и положим 
, где 
. Сумму вида
будем называть интегральной суммой для функции
y=f(x) на . Очевидно, что интегральная сумма зависит как от способа
разбиения отрезка точками 
, так и от выбора точек 
на каждом из отрезков разбиения , .
 |
Если
существует предел 
, не зависящий от способа разбиения отрезка и выбора точек 
, то этот предел будем называть определённым интегралом
функции f(x) на отрезке и обозначать символом 
т.е.
Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой
на отрезке . При этом f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx
– подынтегральным выражением, а числа a и b — пределами интегрирования (a — нижний
предел, b — верхний предел), а сумма 
– интегральной суммой.
Теорема. Если функция f(x)
непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.
Свойства определённого интеграла
1. 
2. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла:
3. Определённый интеграл от суммы двух функций равен сумме определённых интегралов от этих функций:
4. При перестановке пределов интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный:
5. Интеграл по отрезку равен сумме интегралов по его частям:
где a<c<b.
6. Теорема об оценке интеграла
Если
для 
, тогда значения интеграла от этой функции не менее произведения
m на длину отрезка и не более произведения M на длину отрезка.
