Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).

 

y

M

 

 

 

 

 

Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b]

Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.

x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n

Тогда x₁ — x₀ = Dx₁, x₂ — x₁ = Dx₂, … ,x_n — x_n-1 = Dx_n;

На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции.

[x₀, x₁] ® m₁, M₁; [x₁, x₂] ® m₂, M₂; … [x_n-1, x_n] ® m_n, M_n.

 

Составим суммы:

_n = m₁Dx₁ + m₂Dx₂ + … +m_nDx_n =

_n = M₁Dx₁ + M₂Dx₂ + … + M_nDx_n =

Сумма называется нижней интегральной суммой, а сумма – верхней интегральной суммой.

Т.к. m_i £ M_i, то _n £ _n, а m(b — a) £ _n £ _n £ M(b — a)

 

Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку e.

x₀ < e₁ < x₁, x₁ < e < x₂, … , x_n-1 < e < x_n.

 

Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].

 

S_n = f(e₁)Dx₁ + f(e₂)Dx₂ + … + f(e_n)Dx_n =

Тогда можно записать: m_iDx_i £ f(e_i)Dx_i £ M_iDx_i

 

Следовательно,

 

Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу — вписанной ломаной.

Обозначим maxDx_i — наибольший отрезок разбиения, а minDx_i — наименьший. Если maxDx_i® 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности.

  [an error occurred while processing this directive]

Если , то

 

Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxDx_i® 0 и произвольном выборе точек e_i интегральная сумма стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].

 

Обозначение :

а – нижний предел, b — верхний предел, х — переменная интегрирования, [a, b] — отрезок интегрирования.

 

Определение: Если для функции f(x) существует предел то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].

 

Также верны утверждения:

Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой