Пусть в интеграле 
нижний предел а = const, а верхний предел b изменяется.
Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла.
Обозначим 
= Ф(х). Найдем производную
функции Ф(х) по переменному верхнему пределу х.
Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела.
Теорема: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.
Теорема: (Теорема Ньютона — Лейбница)
Если функция F(x) — какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то
это выражение известно под названием формулы Ньютона — Лейбница.
Доказательство: Пусть F(x) — первообразная функции f(x). Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой,
функция - первообразная функция от f(x). Но т.к. функция может иметь бесконечно много
первообразных, которые будут отличаться друг от друга только на какое — то постоянное
число С, то
при соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при х = а:
Тогда 
.
А
при х = b: 
Заменив переменную t на переменную х, получаем формулу Ньютона — Лейбница:
Теорема доказана.
[an error occurred while processing this directive]
Иногда применяют обозначение F(b) — F(a) = F(x)
.
Формула Ньютона — Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.
Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.
Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.
