Пусть задан интеграл 
, где f(x) — непрерывная функция на отрезке [a, b].
Введем новую переменную в соответствии с формулой x = j(t).
Тогда если
1) j(a) = а, j(b) = b
2) j(t) и j¢(t) непрерывны на отрезке [a, b]
3) f(j(t)) определена на отрезке [a, b], то
Тогда 
Пример.
При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду.
Пример.
, с другой стороны, если применить
тригонометрическую подстановку,
Т.е. два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло из-за того, что не был учтен тот факт, что введенная переменная tgx имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке х = p/2). Поэтому в данном случае такая подстановка неприменима. При замене переменной в определенном интеграле следует внимательно следить за выполнением перечисленных выше условий.
Пример
25 Проверить, образуют ли функции 
фундаментальную систему решений. Составить дифференциальное
уравнение.
Решение:
Вычислим вронскиан
.
, следовательно система функций линейно независима на
всей оси 
, и они образуют фундаментальную систему решений некоторого
линейного однородного дифференциального уравнения 3-го порядка. Общее решение
имеет вид:
.
Чтобы составить дифференциальное уравнение, найдём
и исключим постоянные 
.
т.к.
или
преобразуя, получим однородное дифференциальное уравнение
.
Общее решение которого имеет вид
.
