Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Если функции u = j(x) и v = y(x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

Вывод этой формулы абсолютно аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла, который был весьма подробно рассмотрен выше, поэтому здесь приводить его нет смысла.

 

Приближенное вычисление определенного интеграла.

Как было сказано выше, существует огромное количество функций, интеграл от которых не может быть выражен через элементарные функции. Для нахождения интегралов от подобных функций применяются разнообразные приближенные методы, суть которых заключается в том, что подинтегральная функция заменяется “близкой” к ней функцией, интеграл от которой выражается через элементарные функции.

Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Теорема. Если функции , и их частные производные , непрерывны в ограниченной области D с кусочно-гладкой границей L, то справедливо равенство

=.

Это равенство называется формулой Грина.

Напомним, что область D называется односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит области D.

Теорема. Пусть функции , и их частные производные , непрерывны в односвязной области D. Тогда следующие условия эквивалентны:

Для любого замкнутого кусочно-гладкого контура L, расположенного в области D, справедливо равенство =0.

Для любых двух точек A и B в области D криволинейный

интеграл не зависит от формы пути интегрирования, расположенного в области D.

3. Выражение является полным дифференциалом, т.е. в области D существует функция , такая, что .

При этом для любой кусочно-гладкой кривой AB, лежащей в области D, имеет место равенство =.

В области D выполняется равенство =.

Замечание. Функция из условия 3 может быть найдена по формуле =, где интеграл в правой части берется по произвольной кривой AB, лежащей в области D и соединяющей какую-нибудь фиксированную точку с точкой (c - произвольная постоянная). В качестве кривой AB удобно бывает брать ломаную, состоящую из двух отрезков, параллельных осям координат.

Пример 25. Найдем функцию , если

.

Сначала убедимся, что функция действительно существует, т.е. выполнено равенство =.

В нашем примере , , .

Функцию будем искать по формуле =; интеграл в правой части вычислим по кривой L, соединяющей точку с точкой и представляющей собой ломаную, состоящую из двух отрезков, параллельных осям координат: . На отрезке , следовательно, ; на отрезке , поэтому .

=

=.

На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой