Эта формула является более точной по сравнению с формулой прямоугольников.
Подинтегральная функция в этом случае заменяется на вписанную ломаную.
Геометрически площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей вписанных трапеций. Очевидно, что чем больше взять точек n разбиения интервала, тем с большей точностью будет вычислен интеграл.
Площади вписанных трапеций вычисляются по формулам:
После приведения подобных слагаемых получаем формулу трапеций:
Вычисление криволинейного интеграла
Теорема. Пусть L - кривая, заданная уравнениями
, 
, 
, где 
и 
непрерывны на 
вместе со своими производными, а функции 
и 
непрерывны вдоль кривой L. Тогда существует криволинейный
интеграл J и справедливо равенство
=
.
Следствие. Если кривая L задана уравнением 
, 
, причем функция 
имеет кусочно-непрерывную производную, а функции и - кусочно- непрерывны вдоль кривой L, то существует криволинейный
интеграл J и справедливо равенство
=
.
Пример 24. Вычислим криволинейный интеграл I=
, где кривая L задана уравнением 
и соединяет точки A (1, 1) и B (-1, 1).
Учитывая,
что , 
, и x изменяется от 1 до -1, по формуле для вычисления
криволинейного интеграла (см. следствие из
теоремы) имеем I =
.
Пример 25. Вычислим интеграл I =
, где L - окружность 
.
Выпишем параметрические уравнения данной окружности:
, 
, 
. Вычислим интеграл, используя теорему и учитывая, что
, 
.
I =
=
.
