Разделим отрезок интегрирования [a, b] на четное число отрезков (2m). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) заменим на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии, параллельной оси Оу и проходящей через точки кривой, со значениями f(x0), f(x1), f(x2).
Для каждой пары отрезков построим такую параболу.
у
Уравнения этих парабол имеют вид Ax2 + Bx + C, где коэффициенты А, В, С могут быть легко найдены по трем точкам пересечения параболы с исходной кривой.
(1)
Обозначим
.
Если
принять х0 = -h, x1 = 0, x2 = h, то 
(2)
Тогда уравнения значений функции (1) имеют вид:
C учетом этого: 
.
Отсюда
уравнение (2) примет вид: 
Тогда
Складывая эти выражения, получаем формулу Симпсона:
Чем больше взять число m, тем более точное значение интеграла будет получено.
Пример. Вычислить приближенное значение определенного интеграла
с помощью формулы Симпсона, разбив
отрезок интегрирования на 10 частей.
По формуле Симпсона получим:
| m | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| f(x) | 2.828 | 3.873 | 4 | 4.123 | 4.899 | 6.557 | 8.944 | 11.874 | 15.232 | 18.947 | 22.978 |
Точное значение этого интеграла — 91.173.
[an error occurred while processing this directive]
Как видно, даже при сравнительно большом шаге разбиения точность полученного результата вполне удовлетворительная.
Для сравнения применим к этой же задаче формулу трапеций.
Формула трапеций дала менее точный результат по сравнению с формулой Симпсона.
Кроме вышеперечисленных способов, можно вычислить значение определенного интеграла с помощью разложения подинтегральной функции в степенной ряд.
Принцип этого метода состоит в том, чтобы заменить подинтегральную функцию по формуле Тейлора и почленно проинтегрировать полученную сумму.
