Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

 

 

 

 

Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.

Для нахождения суммарной площади используется формула . [an error occurred while processing this directive]

Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x², x = 2.

 

 

Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:

(ед²)

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Пусть непрерывная и неотрицательная функция, определенная на замкнутом квадрируемом множестве D.

Объем цилиндрического тела

(криволинейного цилиндра), ограни-

ченного поверхностью ,

плоскостью и прямой цилиндри-

ческой поверхностью, вырезающей на

плоскости множество D (рис.9),

вычисляется по формуле:

V =.

Площадь S квадрируемой области Рис.9.

D на плоскости xOy выражается формулой

S =.

Площадь F гладкой поверхности

, , вычисляется

по формуле

F =

В последней формуле D - проекция данной

Поверхности на плоскость xOy (рис.10). Рис. 10.

Аналогичные формулы имеют место,

если гладкая поверхность задана уравнением , , (или уравнением , ):

F1 = (или F2 = ).

Пример 20. Найдем объем тела, ограниченного поверхностью и плоскостями , , и .

Заметим, что уравнение задает цилиндрическую

z поверхность с образующими,

параллельными оси x, а плоскость

параллельна оси z

(рис. 11).

Область D ограничена прямыми

, и , она может

y быть задана неравенствами ,

.

x Рис. 11 Объем тела V ==

=

=20/3 (куб.ед.).

На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой