Пример: Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = r2.
1
способ. Выразим из уравнения переменную у. 
Найдем
производную 
Тогда
Тогда S = 2pr. Получили общеизвестную формулу длины окружности.
2
способ. Если представить заданное уравнение в полярной
системе координат, то получим: r2cos2j + r2sin2j = r2, т.е. функция r = f(j) = r, 
тогда
Простейшие типы дифференциальных уравнений первого порядка.
Уравнение с разделёнными переменными
или
.
Решая первое уравнение, получим 
.
Интегрируя, найдём общее решение 
.
Решая второе, получим 
.
Интегрируя, найдём общее решение.
Уравнение с разделяющимися переменными,
или
.
Разделим обе части первого уравнения 
на 
и умножим на 
, получим уравнение с разделёнными переменными
Для второго уравнения: разделим обе части
на произведение 
, получим также уравнение с разделёнными переменными
.
Операция деления уравнения на произведение 
называется разделением переменных.
При делении
на произведение можно потерять некоторые решения, которые получаются
из уравнения
.
Определяя из этого уравнения решения 
, следует проверить, является ли оно решением исходного
уравнения. Если не является, его следует отбросить, а если является, то проверить,
входит ли оно в общий интеграл. Если входит, то оно есть частное решение, а если
не входит, то это решение называется особым.
Пример 17 Решить уравнение
.
Решение:
Разделим уравнение на произведение
, получим:
.
Интегрируя, получим общий интеграл:
.
В этом уравнении имеет вид 
. Его решение 
, 
является решением исходного уравнения, но не входит в
общий интеграл. Следовательно, решение , является особым.
