Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

 

Пусть имеется тело объема V. Площадь любого поперечного сечения тела Q, известна как непрерывная функция Q = Q(x). Разобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими через точки х_i разбиения отрезка [a, b]. Т.к. на каком- либо промежуточном отрезке разбиения [x_i-1, x_i] функция Q(x) непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соответственно M_i и m_i.

Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры с образующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будут соответственно равны M_iDx_i и m_iDx_i здесь Dx_i = x_i - x_i-1.

Произведя такие построения для всех отрезков разбиения, получим цилиндры, объемы которых равны соответственно и .

При стремлении к нулю шага разбиения l, эти суммы имеют общий предел:

Таким образом, объем тела может быть найден по формуле:

Недостатком этой формулы является то, что для нахождения объема необходимо знать функцию Q(x), что весьма проблематично для сложных тел.

 Пример 37 Исследовать ряд на сходимость.

Решение:

Составим ряд из модулей , он сходится.

По признаку сравнения, так как

Ряд – сходится, следовательно сходится и ряд .

Таким образом сходится абсолютно ряд .

Для знакочередующихся рядов имеет место

признак сходимости Лейбница.

Если члены знакочередующегося ряда

1) монотонно убывают по абсолютной величине, т. е.

,

и

2) общий член ряда стремится к нулю, ,

то:

1) ряд сходится;

2) его сумма не превосходит величины первого члена ряда

;

3) модуль суммы остатка ряда не превосходит абсолютной величины первого отброшенного члена (первого члена остатка):

и имеет знак своего первого члена.

Пример 38 Исследовать на сходимость ряды

а)

б)

Решение:

а) ряд сходится по признаку Лейбница, так как члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине

и общий член ряда стремится к нулю, ,

б) ряд сходится по признаку Лейбница:

; .

Если положить его сумму S, приближенно равной сумме первых шести членов этого ряда, то получим ошибку, абсолютная величина которой меньше, чем

S=0,907.