Пример: Найти объем шара радиуса R.

 

 

В поперечных сечениях шара получаются окружности переменного радиуса у. В зависимости от текущей координаты х этот радиус выражается по формуле .

Тогда функция площадей сечений имеет вид: Q(x) = .

Получаем объем шара:

.

 

Пример: Найти объем произвольной пирамиды с высотой Н и площадью основания S.

 

 

 

При пересечении пирамиды плоскостями, перпендикулярными высоте, в сечении получаем фигуры, подобные основанию. Коэффициент подобия этих фигур равен отношению x/H, где х — расстояние от плоскости сечения до вершины пирамиды.

Из геометрии известно, что отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия в квадрате, т.е.

Отсюда получаем функцию площадей сечений:

Находим объем пирамиды:

 

 

Пример 15 Вычислить где область ограничена линиями .

Решение:

Построим область : уравнение является уравнением параболы, симметричной относительно оси , с вершиной в начале координат. Уравнение есть уравнение прямой.

Найдем координаты точек пересечения параболы и прямой, для этого решим систему уравнений:

Решая второе уравнение, найдем - ординаты точек пересечения параболы и прямой. Таким образом, область ограничена слева параболой: , справа прямой , снизу н сверху соответственно прямыми и . Применяя формулу (2), запишем исходный двойной интеграл в виде

,

Вычисляя сначала внутренний интеграл по dx , затем внешний, получим: