Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.

 

y = f(x)

 

Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет собой круг радиуса , то объем тела вращения может быть легко найден по полученной выше формуле:

 ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Точка называется точкой локального максимума (локального минимума) функции , , если существует окрестность точки , для всех точек которой выполнено неравенство

().

Точки локального максимума и локального минимума функции называются точками локального экстремума.

Например, точка (0,0) является точкой минимума функции .

Теорема 5 (необходимое условие экстремума). Если функция имеет в точке локальный экстремум и в этой точке существуют частные производные f, то

=0 и =0.

Точка называется стационарной точкой функции f, если =0 и =0.

Теорема 6 (достаточное условие экстремума). Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности стационарной точки .

Обозначим Q=- ()2. Тогда

1) если Q>0, то в точке функция f имеет локальный экстремум: максимум при > 0 и минимум при < 0;

2) если Q<0, то в точке функция f не имеет экстремума;

3) если Q=0, то в точке функция f может иметь локальный экстремум, а может и не иметь его (в этом случае требуются дополнительные исследования).

Пример 14. Исследуем на экстремум функцию

.

Отметим, что функция u определена и дифференцируема на всей плоскости. , . Приравнивая частные производные к нулю и решая полученную систему, находим стационарные точки функции: (2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2).

Q==.

Q(2, 1) = 36∙(1 - 4) = -108 < 0, поэтому в точке (2, 1) экстремума нет.

Q(1, 2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0, , следовательно, в точке (1, 2) функция имеет минимум, u(1,2) = -25.

Q(-2, -1) = 36∙(1 – 4 ) = -108 < 0, в точке (-2, -1) экстремума нет.

Q(-1, -2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0, , следовательно, в точке (-1, -2) функция имеет максимум, u(-1, -2) = 31.