Определение: Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных.
Разобьем дугу АВ на n частей точками M0, M1, M2, … , Mn. Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты xi и yi. При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна DPi. Эта площадь может быть найдена по формуле:
Здесь DSi — длина каждой хорды.
Применяем теорему Лагранжа к отношению
.
Получаем:
Тогда
Площадь поверхности, описанной ломаной равна:
Эта сумма не является интегральной, но можно показать, что
Тогда
- формула вычисления площади поверхности тела вращения.
Пример 21 Решить уравнение
.
Решение:
Приведём решение методом Бернулли.
Полагая
;
;
получим
1)
;
;
;
.
2) Подставим найденную функцию
:
;
;
;
;
;
и окончательно
.
2.2.3 Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
Уравнение вида
решается последовательным двукратным интегрированием правой части.
Пример 22 Решить уравнения:
а)
; б)
.
Решение:
а) Последовательно интегрируя получим:
;
;
;
.
б)
;
.
Уравнение вида
не содержит явным образом искомой функции
.
Решается заменой
,
тогда:
.
Подставляя эти выражения производных в исходное уравнение, получим уравнение первого порядка
относительно неизвестной функции
от
. Проинтегрировав это уравнение, найдём его общее решение:
,
а затем из соотношения
.
| На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой |
