Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно – степенной.

Пусть u = f(x) и v = g(x) — функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0.

Найдем производную функции y = u^v. Логарифмируя, получим:

 

lny = vlnu

 

Пример. Найти производную функции .

 

По полученной выше формуле получаем:

Производные этих функций:

Окончательно:

 

Пример 23 Решить уравнение .

Решение:

Положим , тогда и мы получаем дифференциальное уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции от :

.

Разделим уравнение на , получим

линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Подставим функцию в виде , тогда

.

Подставляя их в уравнение получим:

.

Далее .

1) ; ; ; .

2) или ,

или ;

.

Уравнение вида

,

не содержит явным образом переменную ,

решается заменой , тогда .