Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.

Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х:

 

т.к. g¢(y) ¹ 0

 

 

т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.

 

 

Пример. Найти формулу для производной функции arctg.

 

Функция arctg является функцией, обратной функции tg, т.е. ее производная может быть найдена следующим образом:

 

Известно, что

По приведенной выше формуле получаем:

 

Т.к. то можно записать окончательную формулу для производной арктангенса:

Таким образом получены все формулы для производных арксинуса, арккосинуса и других обратных функций, приведенных в таблице производных

Пример 36 Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд

Решение:

Члены ряда составляют монотонно убывающую последовательность .

Следовательно, функцией будет

Тогда (доказать самостоятельно).

Если p=1, то имеем – гармонический ряд, который расходится.

Итак, ряд сходится при и расходится при .

Признак сравнения

Сходимость или расходимость положительного ряда часто устанавливают путем сравнения его с другим рядом, заведомо сходящимся или расходящимся.

Пусть даны два положительных ряда

Если имеет место неравенство , то

1) из сходимости второго ряда вытекает сходимость первого ряда; 2) из расходимости первого ряда следует расходимость второго ряда.

Предельный признак сравнения

Если существует предел (в предположении, что )

то оба ряда сходятся или оба расходятся одновременно.

Примеры 37 Исследовать сходимость ряда

Решение:

Члены ряда не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда, составленного из членов геометрической прогрессии с общим членом

:

Согласно признаку сравнения, данный ряд также сходится.