Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные и тоже будут определены в той же области или ее части.

Будем называть эти производные частными производными первого порядка.

Производные этих функций будут частными производными второго порядка.

Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков.

Определение. Частные производные вида и т.д. называются смешанными производными.

Теорема. Если функция f(x, y) и ее частные производные определены и непрерывны в точке М(х, у) и ее окрестности, то верно соотношение:

.

Т.е. частные производные высших порядков не зависят от порядка дифференцирования.

Аналогично определяются дифференциалы высших порядков.

…………………

Здесь n — символическая степень производной, на которую заменяется реальная степень после возведения в нее стоящего с скобках выражения.

Пример 32 Исследовать на сходимость

Решение:

Данный ряд составлен из членов геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем (будем считать ):

,

известно, что сумма первых n членов геометрической прогрессии определяется по формуле

Найдем , очевидно, что при , ряд сходится и его сумма . В остальных случаях, при , ряд расходится (доказать самостоятельно).

Например, ряд сходится, т.к. q= и его сумма , а ряд расходится, т.к. q=.

Свойства сходящихся числовых рядов

1. Два сходящихся ряда

можно почленно складывать (или вычитать), так что ряд

также сходится, и его сумма S равна, соответственно, S=.

Доказать самостоятельно

2. Если члены сходящегося ряда умножить на один и тот же множитель с, то его сходимость не нарушится (а сумма лишь умножится на с).

Доказать самостоятельно

3. Данное свойство связано с понятием остатка ряда. Если в числовом ряде отбросить первые m членов, то получится ряд:

,

называемый остатком ряда. Если сходится ряд , то сходится и любой из его остатков ; обратно, из сходимости остатка вытекает сходимость исходного ряда .

Иными словами, отбрасывание конечного числа начальных членов ряда или присоединение вначале его нескольких новых членов не отражается на сходимости ряда.