Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство
то точка М0 называется точкой максимума.
Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство
то точка М0 называется точкой минимума.
Теорема. (Необходимые условия экстремума).
Если функция f(x,y) в
точке (х0, у0) имеет экстремум, то в этой точке либо обе
ее частные производные первого порядка равны нулю 
, либо хотя бы одна из них не существует.
Эту точку (х0, у0) будем называть критической точкой.
Теорема. (Достаточные условия экстремума).
Пусть в окрестности критической точки (х0, у0) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:
1) Если D(x0, y0) > 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) имеет экстремум, если
- максимум, если 
- минимум.
2) Если D(x0, y0) < 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) не имеет экстремума
В случае, если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.
Пример 29 Решить следующие дифференциальные уравнения:
; б) 
;
.
Решение:
а) Решаем соответствующее однородное уравнение:
.
Составляем характеристическое уравнение 
, находим корни 
; 
.
Общее решение однородного уравнения 
.
По виду правой части 
, находим частное решение
,
число 
.
Методом неопределённых коэффициентов найдём
.
; 
.
Подставим в исходное уравнение: 
.
Получим
,
тогда частное решение 
.
Общее решение исходного дифференциального уравнения
б) ; 
; 
.
Данная задача является задачей Коши, требуется найти частное решение, удовлетворяющее исходному уравнению и поставленным начальным условиям.
Решаем соответствующее однородное уравнение:
.
Составляем характеристическое уравнение 
,
находим корни ; 
.
Общее решение однородного уравнения 
.
По виду правой части — многочлену второй степени
, находим частное решение.
Число 
является корнем характеристического уравнения, а – многочлен второй степени, тогда частное решение имеет
вид:
.
Методом неопределённых коэффициентов найдём
, 
, 
.
Так как
;
,
то подставляя в исходное уравнение, получим
.
После приведения подобных: 
.
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях
у многочленов, стоящих в левой и правой части равенства,
получим систему:
решая ее, найдем
Отсюда частное решение 
.
Общее решение 
.
Найдём частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.
В общее решение подставим 
.
Чтобы удовлетворить второму условию 
, найдём
.
Положим 
, 
. Получим 
.
Получим систему: 
Частное решение 
.
в) .
Решаем соответствующее однородное уравнение
.
Его характеристическое уравнение 
.
Правая часть исходного уравнения имеет вид:
,
следовательно, ; 
.
не является корнем характеристического уравнения. Многочлены
– многочлены нулевой степени, поэтому частное решение
ищем в виде:
.
Методом неопределённых коэффициентов найдём
и .
;
.
Подставим в исходное уравнение:
;
.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях:
; 
;
; 
.
Найдено частное решение 
.
Общее решение 
.
