Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Рассмотрим функцию u(x, y, z) в точке М( x, y, z) и точке М₁( x + Dx, y + Dy, z + Dz).

Проведем через точки М и М₁ вектор . Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно a, b, g. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора .

Расстояние между точками М и М₁ на векторе обозначим DS.

 

Высказанные выше предположения, проиллюстрируем на рисунке:

 

Далее предположим, что функция u(x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х, у и z. Тогда правомерно записать следующее выражение:

,

где величины e₁, e₂, e₃ – бесконечно малые при .

Из геометрических соображений очевидно:

 

 

Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом:

;

 

 

 

Заметим, что величина s является скалярной. Она лишь определяет направление вектора .

Из этого уравнения следует следующее определение:

  [an error occurred while processing this directive]

Определение: Предел называется производной функции u(x, y, z) по направлению вектора в точке с координатами ( x, y, z).

Поясним значение изложенных выше равенств на примере.

На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой