Пример. Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке
А(1, 2) по направлению вектора 
. В (3, 0).
Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора .
=(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2
.
Далее определяем модуль этого вектора:
=
Находим частные производные функции z в общем виде:
Значения этих величин в точке А : 
Для нахождения направляющих косинусов вектора производим следующие преобразования:
= 
За величину принимается произвольный вектор, направленный вдоль
заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования.
Отсюда
получаем значения направляющих косинусов вектора :
cosa = 
; cosb = -
Окончательно
получаем: 
- значение производной заданной функции по направлению
вектора .
Пример 40 Найти радиус сходимости
ряда 
Решение:
Пример 41 Найти область сходимости степенного ряда
Решение:
Найдем отношение
т. е. ряд сходится только при 
и расходится при остальных значениях 
.
Пример 42 Найти область сходимости степенного ряда:
Решение:
Здесь 
Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.
При 
имеем ряд 
он сходится по теореме Лейбница.
При 
имеем ряд 
, который расходится как произведение расходящегося гармонического
ряда на -1. Следовательно; областью сходимости служит полуинтервал 
.
Пример 43 Найти область сходимости степенного ряда
Решение:
Найдем радиус сходимости ряда
Исследуем сходимость ряда при значениях 
. Подставив их в данный ряд соответственно получим 
Оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимое
условие сходимости (их общие члены не стремятся к нулю при 
). На обоих концах интервала сходимости данный ряд расходится
а область его сходимости 
Замечание.
Формула радиуса сходимости степенного ряда получена в предположении, что все коэффициенты членов ряда начиная с некоторого, отличны от нуля. Применение формулы допустимо только в этих случаях. Если это условие нарушается, то радиус сходимости степенного ряда следует искать или с помощью признаков Даламбера. Коши, или же сделав замену переменной, преобразованием ряда к виду в котором указанное условие выполняется.
