,
Определение: Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей точке
,
то этот вектор называется градиентом функции u.
При этом говорят, что в области D задано поле градиентов.
Связь градиента с производной по направлению.
Теорема: Пусть задана функция u = u(x, y, z) и поле градиентов
.
Тогда
производная 
по направлению некоторого
вектора 
равняется проекции вектора gradu на вектор
.
Доказательство: Рассмотрим единичный вектор 
и некоторую функцию u = u(x, y, z) и найдем скалярное произведение векторов и gradu.
Выражение, стоящее в правой части этого равенства является производной функции u по направлению s.
Т.е. 
. Если угол между векторами gradu и обозначить через j, то скалярное произведение можно записать в виде
произведения модулей этих векторов на косинус угла между ними. С учетом того,
что вектор
единичный, т.е. его модуль равен единице, можно записать:
Выражение, стоящее в правой части этого равенства
и является проекцией вектора gradu на вектор
.
Для иллюстрации геометрического и физического смысла градиента скажем, что градиент – вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторого скалярного поля u в какой- либо точке. В физике существуют такие понятия как градиент температуры, градиент давления и т.п. Т.е. направление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции.
С точки зрения геометрического представления градиент перпендикулярен поверхности уровня функции.
| На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой |