Пример. Вычислить интеграл , если область интегрирования D ограничена линиями х = 0, х = у², у = 2.

 

=

=

 

 

Пример. Вычислить двойной интеграл , если область интегрирования ограничена линиями ху=1, у = , х = 2.

 

 

1.     

 

2.

 

 

 

 

3.

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши.

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется выражение вида:

или ,

то есть, уравнение, содержащее неизвестную функцию и её производные до n-го порядка.

Так, например:

, или - это дифференциальное уравнение первого порядка;

- дифференциальное уравнение второго порядка.

Из определения дифференциального уравнения следует, что его порядок равен порядку старшей производной, содержащейся в нём.

Решением дифференциального уравнения называется любая функция

,

которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Пример 16 Проверить (самостоятельно), будут ли функции

; ; ;

решениями дифференциального уравнения

.

Решение:

Рассмотрим уравнения первого порядка.

(1)

имеет место следующая

теорема Коши

Если функция определена и непрерывна в области вместе со своей частной производной , то для всякой точки , принадлежащей области , в некоторой её окрестности, существует единственное решение , удовлетворяющее начальному условию при

. (2)

Условия (2) называются начальными условиями.

Геометрически это означает, что при выполнении условий теоремы через каждую внутреннюю точку M0 области проходит единственная интегральная кривая.

 

Задачей Коши называют задачу о нахождении решения дифференциального уравнения

, (1)

удовлетворяющее начальным условиям

. (2)

Вышеприведённую теорему называют теоремой о существовании и единственности решения задачи Коши.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называют функцию такую, что

при любом она является решением дифференциального уравнения (1);

каковы бы ни были начальные условия (2), всегда можно найти такое , что удовлетворяет начальным условиям (2).

Частным решение называется решение, полученное из общего при конкретном значении .

Примеры решения задач по математике за второй курс универа

На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой