При рассмотрении тройного инеграла не будем подробно останавливаться на всех тех теоретических выкладках, которые были детально разобраны применительно к двойному интегралу, т.к. существенных различий между ними нет.

Единственное отличие заключается в том, что при нахождении тройного интеграла интегрирование ведется не по двум, а по трем переменным, а областью интегрирования является не часть плоскости, а некоторая область в техмерном пространстве.

Суммирование производится по области v, которая ограничена некоторой поверхностью j(x, y, z) = 0.

Здесь х₁ и х₂ — постоянные величины, у₁ и у₂ — могут быть некоторыми функциями от х или постоянными величинами, z₁ и z₂ – могут быть функциями от х и у или постоянными величинами.

Пример. Вычислить интеграл

Замена переменных в тройном интеграле.

Операция замены переменных в тройном интеграле аналогична соответсвующей операции для двойного интеграла.

Можно записать:

Наиболее часто к замене переменной в тройном интеграле прибегают с целью перейти от декартовой прямоугольной системы координат к цилиндрической или сферической системе.

Теорема о среднем значении

Если f(x) непрерывна на отрезке , то существует такое значение, что f(x0)=fср – среднее значение f на отрезке.

2.1.4 Теорема Ньютона-Лейбница

Если функция f(x) непрерывна на отрезке и F(x) — первообразная функции f(x) на этом отрезке, то

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

При вычислении интегралов ее часто записывают в виде

Например, =

Замена переменной в определённом интеграле

Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке , функция имеет на отрезке непрерывную производную, при этом и Тогда

Примеры решения задач по математике за второй курс универа

На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой