1) Вычисление площадей в декартовых координатах.

 

 

 

Площадь S, показанная на рисунке может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле:

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y² = 4x + 4;

x + y — 2 = 0.

Построим графики заданных функций:

 

Линии пересекаются в двух точках — (0, 2) и (8, -6). Таким образом, область интегрирования ограничена по оси Ох графиками кривых от до х = 2 — у, а по оси Оу — от –6 до 2. Тогда искомая площадь равна:

S =

 

Пример 17. Изменим порядок интегрирования в повторном интеграле .

Эта задача несколько сложнее предыдущей. Здесь не дана непосредственно область интегрирования, мы должны выяснить ее вид по пределам данного повторного интеграла.

Неравенства ,

задают множество D, которое изображено

на рис. 7. Проекцией D на ось y является

отрезок . Каждая прямая y=c

(c = const Î ) пересекает D по отрезку

, где и являются

решениями уравнения .

Решая последнее уравнение, находим

, . Рис. 7

Таким образом, множество D является элементарным относительно оси x и задается неравенствами , . Поэтому

=.

Примеры решения задач по математике за второй курс универа

На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой